不等关系和不等式
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,胖与瘦,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.
一.不等关系是普遍存在的
在数学中,我们用不等式来表示不等关系.
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等
关系.
二.问题情境:
某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20人)
的团体票8折优惠.那么不足20人时,应该选择
怎样的购票策略
设x人(xb
传递性—
a>b,b>c
可加性—
a>b
推 论
移项法则—
a+c>b
同向可加—
a>b,c>d
可乘性—
a>b,
推 论
同向正可乘—
a>b>0,c>d>0
可乘方—
a>b>0
可开方—
a>b>0
(n R+)
(n N)
bb+c

a>b-c

a+c>b+d

a>c

ac>bc
c>0

c<0
acbn


ac>bd

三,不等式性质的应用:
(一).判断命题真假或探求不等式成立的条件
(1)在"形"上是如何体现的
数轴上右边的数总比左边的数大.
(2)在"式"上又是如何体现的呢
(3)如何比较两个实数的大小
例1,比较的大小.
(1)(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)
分析:
此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的
值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,
判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出
两个代数式的大小
解:
例2,已知x 0,比较(x2+1)2与x4+x2+1 的大小.
变式:比较(x2+1)2 与x4+x2+1的大小.
解:
"作差法"比较两个实数大小的步骤:
(1)作差
(2)变形
(3)定号
最后得出结论
例4,比较 与的 大小
"作商法"比较大小
依据:
步骤:
作商——变形——判断与1的大小关系
——得出结论
小结:
1.通过具体情景,建立不等式模型;
3.比较两实数大小的方法——作差比较法.
和作商比较法
作商—变形—判断与1的大小关系—得出结论
作差—变形—判断与0的大小关系—得出结论
2.不等式的有关性质及其应用.