第 2 章讲述了计算机中的数据的表示方法,本章主要讨论定点数与浮点数的各种运算方法,溢出的判别方法以及 各种方法实现的典型电路.
3.1 定点加/减法运算
3.1.1 定点补码的加/减法
在计算机中,凡是带符号的数一律用补码表示,其运算结果也是用补码表示的.若结果的 符号为"0"表示正数,得到的补码即原码,数值部分前加上"+"号即为真值;若结果的符号 为"1"表示负数,得到的是补码,这时如要求真值,需对结果的补码再求补码,变成原码,在 数值部分前加上负号才为真值.下面对加,减两种情况进行分析. 1.定点补码的加法运算 规则:[X ]补 +[Y ]补=[X+Y ]补 (mod2n). – – 式中,–2n 1≤ X <2n 1,–2n–1≤ Y <2n–1,–2n–1≤ X +Y <2n–1. 现根据 X,Y 的符号及绝对值的大小分 4 种情况予以证明. ① X,Y 均为正数,则其和也为正数.因正数的补码就是该正数本身,故有 [X]补+[Y ]补=X+Y=[X+Y]补(mod2n) ② X 为正数,Y 为负数,且| X | ≥ | Y |,即 0 ≤ X+Y<2n–1. 由补码定义,可知 [X]补=X [Y]补=2n +Y [X+Y]补=X+Y 则有[X]补+[Y]补=X+2 +Y=X+Y=[X+Y]补(mod2n). 由于 0≤X+Y| X |,即–2n–1≤( X + Y )<0.
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第 3 章 运算方法和运算器
由补码定义,可知 [X]补= X [Y]补=2n +Y [X+Y ]补=2n +(X+Y ) 则有[X ]补+[Y]补=X+2n +Y=2n +( X+Y )=[X+Y ]补(mod2n). 由于–2n–1≤( X+Y )<0,故求得的结果为一个负数的补码形式.
例 3.2
已知 X = +0000111B,Y = –0010011B,进行补码加法运算. [X]补 = 00000111 (+7 的补码) +) [Y ]补 = 11101101 (–19 的补码) [X+Y ]补 = 11110100 (–12 的补码)
符号位 符号位为"1",表明结果为负数,它以补码形式出现,为求得原码表示的结果,必须将 补码再求一次补码: [[X+Y ]补]补=[11110100]补=10001011+1=10001100B(符号位不变,其后每位变反+1) 所以 X+Y= –00001100B(–12). ④ X,Y 均为负数,则其和必为负.由补码定义,可知 [X ]补=2n +X [Y]补=2n +Y [X+Y ]补=2n +(X+Y) 则有[X ]补+[Y ]补=2n +X +2n +Y=2n+2n +(X+Y )=2n+1 +(X+Y )=[X+Y]补(mod2n). 由于–2n–1≤(X+Y )<0,故求得的结果也为一个负数的补码形式.
例 3.3
已知 X= –0011001B,Y= –0000110B,进行补码加法运算. [X]补 = 11100111 (–25 的补码) +) [Y ]补 = 11111010 (–6 的补码) [X+Y ]补 =[1] 11100001 (–31 的补码)
丢失 符号位 符号位为 1 表明结果为负,符号位之前的 1,是由符号位进位上来的,为模,丢失.如将 (补码的符号不动, 其后每位变反+1) 得到: [X+Y]原=10011111B. [X+Y ]补=11100001 再求一次补码 结果:X+Y= –0011111B(–31). 综上所述,当–2n–1≤X<2n–1,–2n–1≤Y<2n–1,且–2n–1≤(X+Y )Y, X–Y 无借位, 则 差值为正, [X–Y ]补=[X ]补+[–Y]补之和必大于 2n, 最高位有进位, 其所得到的和即是 X–Y 的原码.
例 3.6
已知 X=+01000000B,Y=+00001010B,用补码进行减法运算,求 X–Y. [X ]补=[X ]原=01000000 [Y ]补=[Y ]原=00001010 [–Y]补=11110110
则
[X]补 = 01000000 +[–Y ]补 = 11110110 [X–Y ]补 = 100110110
(+64 的补码) (–10 的补码) (+54 的补码)
自动丢失,有进位表示无借位,结果为正数 两个补码相加时,最高位有进位表示 X–Y 时无借位,结果为正数. 结果为 X–Y=+00110110B(+54). ② 若 X