312数学分析与线性代数
一.(每小题5分,共20分)求极限:
1., 2.
3. 4.
二.(10分)设函数在上可导,证明:存在,使得
.
三.(10分)设 求.
四.(5分)已知:,求:.
五.(15分)求摆线 ,,一拱的长.
六.(15分)计算 ,其中 .
七.(15分)求微分方程
的通解.
八.(10分)设,且与都存在,证明在上一致连续.
九.(每题5分,共10分)设三阶方阵A按列分块为,若A的行列式为, 记,为A的伴随矩阵,为A的逆矩阵,
求:(1) ;(2)
十.(每题5分,共10分)设A,B分别为m阶和n阶可逆阵,
(1) 求分块阵的逆矩阵,其中表示零分块矩阵;
(2) 若,求
十一.(每题5分,共10分)设,证明:
(1) , 为A的转置矩阵;
(2) 若为行满秩的,则为正定矩阵.
十二.(每题5分,共10分)三阶方阵A的秩为2,为非齐次线性方程组AX=b的解,若,,求
(1) 导出组AX=0的一个基础解系; (2) AX=b的通解.
十三.(每题5分,共10分)设,且
(1) 求A的特征值;
(2)若取 ,求一正交矩阵P使为对角形矩阵.