第二章 控制系统的数学模型
本章内容:
2.1系统的微分方程(列写系统微分方程的步骤与方法,微分方程的增量化表示,非线性微分方程的线性化)
2.2 系统的传递函数(传递函数的定义,结构及典型环节的传递函数)
2.3 系统传递函数的方框图及其简化
2.4 反馈控制系统的传递函数
2.5 相似原理
2.6 系统的状态空间模型
概述
一,数学模型:
数学模型是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式
常用的数学模型有微(差)分方程,传递函数,结构图和信号流图,频率特性以及状态空间表达式
其中状态空间表达式是应用在现代控制理论研究控制系统,特别是多输入多输出系统特性的数学模型
二,系统数学模型的建立方法
其方法有解析法和实验法两类
解析法确定数学模型时要求确定控制系统的数学模型,要求依据系统及元件各变量之间所遵循的物理,化学定律,列出各变量间的数学关系式
实验法确定数学模型时要求对系统施加典型的测试信号(脉冲,阶跃或正弦信号),记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线,从而获得系统的传递函数或频率特性
三,建立系统模型的主要目的:
主要目的是为了分析系统的性能
线性常
微分方程
时间响应
性能指标
求解
观察
传递函数
拉氏变换
拉氏
反变换
估算
估算
频率特性
傅氏变换
频率特性
计算
线性系统的概念:
一个系统无论是用代数方程还是用微分方程描述,其组成项的最高指数称为方程的次数.
一次微分方程叫做线性方程,二次以上的微分方程叫做非线性方程
能够用线性微分方程(或线性代数方程)描述的系统叫做线性系统
线性系统最重要的性质就是叠加性
可用上式描述的系统都是线性系统
此方程所描述的系统称为非线性系统
系统按其微分方程是否线性,可分为线性系统与非线性系统.
线性系统满足叠加性,即系统的几个输入同时作用于系统时,可以逐个输入,求出输出,然后逐个叠加,求出总输出.
在研究控制系统时,必须建立动态系统的数学模型,并且分析系统的动态特性.
系统的数学模型可以多样化,但是否线性与非线性完全由系统的结构与参数确定.
2.1 系统的微分方程
一,建立系统的微分方程的步骤:
1)分析系统的工作原理与系统中各变量间的关系
(确定输入量,输出量,中间量)
2)从输入端开始,根据物理定律依次列写组成系统各元件
的运动方程
(需考虑各元件的彼此影响,即负载效应)
3)消除中间变量,得到输出与输入的函数方程式
4)化为标准型
输出两在方程左端,输入量在右端,且各阶导数项阶次按
降幂排列
二,非线性微分方程的线性化
由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成熟,所以往往在一定条件下需要将非线性系统的非线性方程线性化
所谓线性化,就是在一定的条件下做某种近似,或者缩小工作范围,将非线性微分方程近似地作为线性微分方程来处理
常用解法为在预定工作点处将系统的非线性函数以其自变量的偏差形式展开成Taylor级数.如果此偏差很小,则级数中此偏差的高次项可以忽略,只剩下一次项,最后获得此偏差为自变量的线性函数
小偏差线性化这种近似方法,对大多数控制系统来说都是可行的.首先控制系统在通常情况下,都有一个正常的稳定的工作状态,称为平衡工作点.其次,当系统的输入量或输出量相对于正常工作状态发生微小偏差时,系统会立即进行控制调节
使用小偏差线性化方法处理非线性问题时,应注意几点:
1)线性化方程中的参数.工作点不同时,相应的参数也不同
2)当输入量变化范围较大时,用上述方法会引起较大的误差
3)若非线性特性不连续时不能采用此方法
4)线性化以后得到的微分方程是增量微分方程
2.2 系统的传递函数
微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型.通过对它求解就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出相应,但用微分方程一般会遇到如下困难:
1)微分方程式的阶次一高,求解就有难度,且计算工作量大.
2)对于控制系统的分析,不仅仅要了解它在给定信号下的输出响应,而且更重视系统的结构,参数与性能间的关系,对于后者,微分方程难于实现.
线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,称为该系统的传递函数.
定义:
一,传递函数
(1)
分别对(1)式两边进行Laplace变换,
分别对(1)式两边进行Laplace变换,
实微分定理
根据传递函数的定义,描述该线性定常系统的传递函数为
系统输入,输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示,输出是由输入经过G(s)的传递而得到的,因此称G(s)为传递函数.因为传递函数是在零初始条件下定义的,故在初始条件为零时,它才能完全表征系统的动态性能.
回顾一下微分方程的解法
微分方程式
时域解
求解微分方程
经典解法
S的代数方程
Laplace变换法
L
S域解
求解代数方程
L-1
由上可知,传递函数本质上是数学模型,与微分方程等价,但在形式上却是个函数,而不是方程.这样不但在运算上大大简化,且可以方便地用图形表示,因此工程上广泛采用传递函数.
RC电路
(1)当u1为输入,u2为输出时:
实例1
RC电路
(2)当u1为输入,i为输出时:
RLC电路
取ur为输入,uc为输出,得
实例2
RLC电路
取ur为输入,uc为输出
例3 机械位移系统
取外力f(t)为输入 , 位移x(t)为输出
根据牛顿第二定律,得
取外力f(t)为输入 位移x(t)为输出
(1)现实控制系统多是零初始条件,即在输入作用加入前,系统是相对静止的,即:
(2)控制系统是在t=0之后才作用于系统,即在输入没加入之前(t ≤0),认为输入恒为零,有
(3)对于非零系统初始条件产生的影响,可用叠加原理进行处理,其性能取决于系统的特征方程.
传递函数的实际意义:
从描述系统输出的完整性来讲,传递函数只能反映由输入引起的那部分响应,称为输入输出描述.对于非零初始条件的系统,传递函数不能完全表征系统的动态过程,但在工程上仍不失为其重要地位.理由是:
一般有n≥m
同一个系统,当输入量和输出量的选择不相同时,可能会有不同的传递函数.
不同的物理系统可以有相同的传递函数.
传 递 函 数 的 性 质
传递函数表示系统传递输入信号的能力,反映系统本身的动态性能.它只与系统的结构和参数有关,与外部作用等条件无关.
1.G(s)原则上不反映C(0)≠0时的系统的全部运动规律.
(虽然由G(s)转到微分方程,可以考虑初条件的影响.)
2.G(s)只适用于单输入,单输出系统.
3.G(s)只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一
种线性变换.
采用传递函数的局限:
二,传递函数的微结构:
(1)零极点的表达式:
根轨迹增益或传递系数
(2)时间常数表达式:
传递函数很容易化为一些典型环节,在以后的频率法分析中使用较多.
分子分母中一次项对应实数零点与极点,二次项对应复数零点与极点
零点,极点及传递系数决定了传递函数,且对系统的
三大性能均有决定性作用,如
1)极点决定系统的固有属性
传递函数的极点就是微分方程的特征根,是系统自身的固有属性
2)极点的位置决定了系统的敛散性,即决定稳定性与快速性
3)零点的决定了运动模态的比重
3)零点的决定了运动模态的比重
4)传递系数决定了系统的稳态性能
当输入函数为单位脉冲函数时,
系统的输出为:
反变换得到脉冲响应为:
称g(t)为单位脉冲响应函数,也称系统的权函数,与传递函数G(s)是时域t到复域s的单值变换关系,两者包含了关于系统的相同信息.
系统的脉冲响应如下图所示:
三,典型环节的传递函数
一个物理系统是由许多元件组合而成的,虽然元件的结构和作用原理多种多样,但若考察其数学模型,却可以划分成为数不多的几种基本类型,称之为典型环节.这些环节是比例环节,惯性环节,积分环节,振荡环节,微分环节和延迟环节.
三,典型环节的传递函数
1,比例环节
特点是:输出不失真,不延迟,成比例地复现输入信号的变化.实例有运算放大器,电位器,齿轮传动机构,测速电机
比例环节又称放大环节.其数学方程为
-
+
A
i0
R0
R1
i1
ur
uc
在上图中,运算放大器具有很大的开环放大系数,A点对地电位近似为零
2,惯性环节(一阶惯性环节)
惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化,存在时间上延迟,时间常数愈大惯性愈大,延迟时间也愈长,时间常数T表征了该环节的惯性.
若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号,则有
T
t
0
c(t)
1
可见,在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的.当t=3T~4T时,输出才能接近其稳态值.
惯性环节的实例:
R
C
ur
(a)
uc
a)所示的电路中,输出电压uc与输入电压ur间的微分方程为
i
(b)
如图所示的弹簧-阻尼系统, 为输入位移, 为输出位移, 为弹簧刚度,根据牛顿定律,有
3,微分环节
理想的微分环节其输出量是输入信号对时间的微分,即输出量与输入量的变化率成正比.它能预示输入信号的变化趋势,监测动态行为.
下图给出了微分环节的实例
R
C
ur
(a)
uc
i
在图(a)的电路中,输出电压uc与输入电压ur间的微分方程为
在图(b)中,输出电流i(t)与输入电压ur(t)间的微分方程为
C
R
i1
i2
ur
i
(b)
u(t)
(c)
θ
if
在图(c)中,选取直流测速发电机的输入量为转角 ,输出量为电枢电压u(t),则其输入,输出间的微分方程为
显然其特性相当于一个微分环节.
微分环节的作用:
(1)使输出提前.
(2)增加阻尼(见P41)
(a)
(b)
(3)强化噪声
4,积分环节
式中K=1/T,称为积分环节的放大系数,而T称为积分时间常数.
积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的.
下图给出了积分环节的实例
在图(a)中,
-
+
R
ur
uc
(a)
i
ic
C
(b)
n
θ
ur
5,振荡环节
c(t)
1
0
t
下图给出了振荡环节的实例
R
L
C
ur
uc
(a)
F(t)
K
m
f
y(t)
(b)
图(a)中,输出电压uc和输入电压ur之间的微分方程为

图(b)中,输出位移y(t)与输入作用力F(t)之间的微分方程为
可见它们都是典型的振荡环节
6,延迟环节
各典型环节在和实际元件相联系时,应注意以下几点:
⑴ 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的,他与系统中使用的元件并非都是一一对应的,一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合.而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型
⑵ 同一装置(元件),如果选取的输入,输出量不同,它可以成为不同的典型环节.如直流电动机以电枢电压为输入,转速为输出时,它是一个二阶振荡环节.但若以电枢电流为输入,转速为输出时,它却是一个积分环节
⑶ 在分析和设计系统时,将被控对象(或系统)的数学模型进行分解,就可以了解它是由哪些典型环节所组成的.因而,掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究.
⑷ 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统.
总结:典型环节的传递函数
比例环节G(s)=K 积分环节G(s)=
惯性环节G(s)= 振荡环节G(s)=
微分环节G(s)=TS 延时环节G(s)=
习题:
P71页
2.1, 2. 3, 2.4, 2.6, 2.10