第十四章:勾股定理
一,教材分析
本章主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理,包括它们的发现,证明和应用.全章分为两节,第14.1节是勾股定理,第14.2节是勾股定理的逆定理.
在14.1节中,教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起,让学生通过观察计算以等腰直角三角形的两条直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,发现等腰直角三角形的三边有一种特殊的关系;再观察其它直角三角形,看两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系,进一步发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积仍然成立,从而发现勾股定理,这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理.
关于勾股定理的证明方法有很多,教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法.注意:书上的证法不同于旧教材.是面积相等,不是推导.
原来是由图2得到的.通过推理证实命题1的正确性后,教科书顺势指出什么是定理,并明确命题1就是勾股定理.
三个探究栏目:
探究1: 一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
探究2: 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
探究3: 我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗
研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题中的应用,使学生对勾股定理的作用有了一定的认识.
知识呈现的方法:
观察 发现,再观察 发现,证明(面积)
经历——模型——证明——运用
第18.2节是研究勾股定理的逆定理,教科书从古埃及人画直角的方法说起,给出如果一个三角形的三边满足一边的平方等于另两边平方的和,那么这个三角形是直角三角形的结论(由实例引入),然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形,探索这些三角形的形状,可以发现画出的三角形都是直角三角形,从而猜想如果三角形的三边满足这种关系,那么这个三角形是直角三角形,这样就探索得出了勾股定理的逆定理.此时这个逆定理是以命题2的方式给出的,教科书通过对照命题1和命题2的题设,结论,给出了原命题和逆命题的概念.命题2是否正确,需要证明,教科书利用全等三角形证明了命题2,得到勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,它在数学和实际中有广泛应用,教科书通过两个例题,让学生学会运用这种方法解决问题.
知识结构图:
实 际 问 题
(直角三角形边长计算)
勾股定理
互逆定理
实 际 问 题
(判定直角三角形)
勾股定理的逆定理
二,学习目标
1,体验勾股定理的探索过程,会用勾股定理解决简单问题.
2,会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3,通过具体实例的探索,了解定理的含义,了解逆命题,逆定理的概念,知道原命题与其逆命题间的关系.
三,注意的几个问题
1.加强与实际的联系,体现知识的形成和应用
密切联系实际,反映知识的来龙去脉,体现知识的形成和应用过程,是新版教科书的一个特点,也是本册书的一个主要特点.教材对概念的引入,知识的形成等均注意从实际问题出发,体现数学来源于实际,同时又注意将所得数学结论运用于实际,通过解决实际问题,体现数学服务于实际.对于勾股定理及其逆定理的发现是结合实际生活展开的,同时也编写了这两个定理在解决实际问题中的应用.在教学中要选择富有时代气息的,典型的,学生熟悉的或感兴趣的实际问题,来创设问题情境,为概念的引出及知识的形成做好铺垫,把新教材的意图体现出来,落实到课堂教学中.
2.旧版教材把勾股定理作为直角三角形一章的一节,新教材单独为一章,主要内容还是勾股定理及其逆定理,增加的是让学生体验勾股定理的探索运用的过程(有3个探究例题).
把旧版教材中的定理,逆命题,逆定理结合具体例子作了介绍,更便于学生的理解掌握.
新教材注重介绍了数学文化及与实践的结合,增加了阅读与思考,数学活动等内容.
3.注意让学生获得较多的与勾股定理有关的背景知识,教材中的阅读与思考内容要认真指导学生阅读,动手拼一拼,也可适当做些补充.(周髀算经,赵爽弦图,毕达哥拉斯等)
4.注意总结学过的与定理,逆定理有关的内容,加深对互逆命题,互逆定理的判别与理解..

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