第七章 状态变量分析法
7.1 连续时间系统状态方程的建立
7.2 连续时间系统状态方程的求解
7.3 离散时间系统状态方程的建立
7.4 离散时间系统状态方程的求解
7.5 系统的可控制性与可观测性
7.6状态矢量的线性变换
7.1 连续时间系统状态方程的建立
7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程
描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为
(7.1-1)
算子方程为
(7.1-2)
对应的n阶连续系统的转移算子函数为
对应的系统函数为
(7.1-3)
(7.1-4)
图 7.1-1 式(7.1-2)的信号流图表示
1. 由系统的直接(微分方程)形式信号流图建立状态方程的一般方法
(1)从右向左按顺序在积分器p-1的输出端建立状态变量xi, p-1的输入端为 由于xi顺序相差90°,因此这种状态变量也称其为相位状态变量.
(2)列出积分器输入节点 与状态变量xi和输入f(t)的关系, 并用矩阵表示.
(3) 列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系,并用矩阵方程表示.
用上述方法对图7.1-1的系统流图,讨论状态方程与输出方程的建立.先由n个积分器,如图7.1-1所示,列出n个状态变量x1(t),x2(t),…, xn(t)(图中省略了状态变量中的自变量符号(t)), 然后再列积分器输入节点的方程:
(7.1-5)
输出为
(7.1-6)
将式(7.1-5) , (7.1-6)分别写成矩阵形式
(7.1-7)
(7.1-8)
或
式(7.1-7)表示了状态变量x1(t),x2(t),…, xn(t)与输入f(t)之间的关系,是图7.1-1 系统的状态方程.式(7.1-8)表示了输出y(t)与状态变量x1,x2,, xn之间的关系,是图7.1-1系统的输出方程. 式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为
(7.1-9)
式中
(7.1-10)
式(7.1-9)是图8.1-1的状态方程的一般形式,A,B,C,D是状态方程的系数矩阵.当式(7.1-1)中的输入情况不同时,A与B矩阵相同,而C与D矩阵会有变化,尤其是b0=0,可使C的元素计算大大简化.例如
(7.1-11)
式(7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外,其余bk(k=0~n-1)为零的特例,它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同,而C与D矩阵分别为
C=[1 0 … 0 0], D=0
(7.1-12)
若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m,分母多项式的次数为n,且m