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    1 量子信息论 1999 年10 月31 日 本文根据 Bennet & Shor 的Quantum Information Theory (IEEE Transaction On Information, Vol. 44.No 6.October 1998)编译 小标题是我加的 Bennet 在IBM 研究部 T.J.Waston 研究中心 bennetc@waston.ibm.com Shor 在AT&T Labs-Research shor@research.att.com 摘要 本文 给出了量子信息论的概要 讨论了量子信息论基础 信源编码 量子纠错 码 量子信道容量 纠缠 entanglement 度量和量子密码学 cryptography 1 介绍 量子信息 近来物理学和信息科学的交叉产生了 量子信息 的概念 量子力学 Quantum Mechanics 是经典过程的基础 但直到最近 信息通常是以其 经典形式被考虑 量子力学作为辅助角色只是用于设计处理这些信息的设备 如传统的 量子电子学 一般只是关于器件的讨论 而很少关心量子的信息问题 现在 已产 生了量子信息和信息处理理论 其最重要的用途有 安全性基于基础物理的密码理论 能够极大加快某些数学问题解决的量子计算机 这些能力源于量子属性 如不确定性 uncertainty 干涉 interference 和纠缠 entanglement 量子信息论扩展和完备了经典信息论 新的理论扩展了经典概念如信源 信道和编 码 也带来两点补充 可以记数的信息种类 经典信息和量子纠缠 经典信息可以自 由复制 但只能从发送者到接收者在时间上前向传输 纠缠不能被复制 却能连接时空中 任意两点 传统的数据处理运算 operation 破坏了纠缠 但量子运算能建立 保存和使 用它 纠缠 量子运算能有效地加快某些计算 并能辅助经典数据 量子超密度编码 quantum superdense coding 或完整 intact 量子态 量子转运 quantum teleportation 从发送者到接收者的传输 量子信道的容量 任何传输量子系统 并或多或少地保持其从一处到另一处的完整性的方式 如光纤 都可视为量子信道 与经典信道不同 量子信道有三个独特的容量 传输经典数据的容量 C 一般较低的传输完整量子态的容量 Q 在经典双边信道 two-way classical side-channel 辅助下传输完整量子态的容量 Q2 量子信息与经典信息的不同 2 量子信息 及处理量子信息的运算是如何与传统的数字数据和数据处理运算不同的 呢 经典的 bit 比特 例如 一个存储单元或线路载运的二进制信号 是一个包含很多 原子的系统 由一个或多个连续参数 如电压 描述 设计者在参数范围内选择两个相 对分离的区域代表 0 和1为抵抗环境干扰 制造缺陷等导致的漂移 信号要周期性地恢 复到这些标准区域 如高电压和低电压 n-bit 存储器存在 2 n 种逻辑状态 记为 000..0 到111..11 经典计算机除了存储二进制数据外 也用一系列布尔运算处理它们 如AND 和NOT 这些布尔运算在同一时刻作用于 1 或2个bit 足以实现各种变换 相反的 量子比特 或qubit (量子比特) 为微观系统 如一个原子或核自旋或极 化光子 布尔态 0 和1由一对确定的 qubit 可区分的状态 如水平和垂直极化 |0> = ? |1> = b 代表 Qubit 也可存在于中间态的连续区 continuum 中 或所谓 重叠 superposition 用二维复矢量空间 希尔伯特空间 H2 中的单位矢量代表 基矢量 |0>和|1> 对于光子 这些中间态对应于其他极化 例如 = ) 1 0 ( 2 1 + ) 1 0 ( 2 1 ? = 和)10(21i+=右旋极化 与经典比特的中间态 如标准 1 0 值之间的电压 不同 即使在理论上中间态也不 能相对于基态可靠地被辨别对于状态|0> 和|1> 的任何measurement 重叠1010ψψψ+=以概率 2 0 ψ 表现为|0> 以概率 2 1 ψ 表现为|1> 一般的 两个量子 态当且仅当其代表矢量正交时能可靠辨别 如 ?和b 和 是可辨别的 而? 和 不可区别 状态矢量乘以任意相因子 θ i e 不改变其物理意义 虽然通常以单位矢量 代表 更恰当地 可以把量子态看成射线 rays 一射线等价于一个矢量乘复常数所得 的一类矢量 b r a - k e t 记号 为行文方便 我们可以用所谓的 bra-ket 记号记两个 d-维矢量 ψ 和φ的内积 ∑ = = d x x x 1 * φ ψ φ ψ 3 其中星号表示复共轭 这可理解为行矢量 ) , , ( * * 1 d ψ ψ ψ L = 与列矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = d φ φ φ M 1 的矩阵乘积 其中对于任 意标准列矢量 或ket ψ 其行表示 或bra ψ 通过转置再取复共轭获得 一对 qubit 如不同位置的两个光子 能存在于 4 个基本态 |00> |01> |10> |11> 以及它们各种可能的重叠 一对 qubit 存在于 4 维Hilbert 空间中 空间包括如下状态 =? + = + ) 1 0 ( 0 2 1 ) 01 00 ( 2 1 这可解释为两个光子的独立极化 以及 纠缠 状态 即诸如 ) 11 00 ( 2 1 + 的状态 尽管光子对有确定态 其中任意一个光子都没有自己的确定态 量子信息串的空间 一般的 一串 n 经典比特存在 n 2 种布尔态 x=000 …0 到111 …1 而一串 n qubit 可以 以下任一状态存在 ∑ = = Ψ 1 111 0 000 L L x x x ψ 其中 x ψ 为复数 1 2 = ∑x x ψ 换句话说 n qubit 量子态由 n 2 维Hilbert 空间 n H H n ) ( 2 2 = 中复单位矢量 或更恰当地 射线 因为Ψ 乘以相位因子并不改变其物 理意义 Ψ 代表 2 维Hilbert 空间代表了单 qubit 量子状态 n 2 维Hilbert 空间是 n 倍copy 2 维Hilbert 空间的张量积 这种指数维数增大是量子计算机与经典模拟计算机 突出的不同 在经典计算机中 由一定数量参数描述的状态在系统大小增长时只线性增 长 这是由于在经典系统中 无论是模拟的还是数字的 可由独立描述各部分状态来完 备描述 相反 大多数量子状态是纠缠的 不允许这样 相对独立 的描述 保持和使 用纠缠状态的能力是量子计算机的突出特点 既使它具有强大的计算能力 也使它难以 制造 单式进化 或酉进化 4 一个孤立的量子系统在进化中保持重叠和可识别性 distinguishability 在数学上 这种进化是酉 unitary 即线性和内积保守的 变换 它在 Hilbert 空间中对应于欧氏空 间中的刚性旋转 酉进化和重叠是量子力学的中心原则 量子逻辑门 正如经典计算机可看成一系列单目或双目运算 如 非门 NOT 与门 AND 量子计 算可表示为一系列单 qubit 或双 qubit 量子门 即在同一时刻作用于 1 或2个qubit 的酉运 算 参图 1 图略 一般单-qubit 门可描述为 2 2 * 酉矩阵 1 ? ? ? ? ? ? ? ? δ β γ α 映射 1 0 0 β α + ? 1 0 1 δ γ + ? 单qubit 门物理上很容易实现 例如作用于极化光子的 1/4 或1/2 波平面 wave plate 或在磁场中作用于核子自旋的射频点触脉冲 tipping pulse 图1a作用于量子数据的任意酉运算 U 可由 2-qubit 异或 XOR 门和 1-qubit 酉运算 U 合成b异或门能复制布尔输入 但若企图复制中间重叠态 将得到纠缠态 c 经典导线 粗线 如实传导 0 和1但不能传导重叠或纠缠状态 这可定义为与一辅助 0 qubit 作用 通过一异或门 又将其丢弃的量子导线 d 通用作用 或超运算符 superoperator 可应用于量子数据 它与一个或多个 0 qubit 进行酉 作用 unitary interaction 随后抛弃若干 qubit 超运算符一般是不可逆的 标准的双 qubit 门是受控 controlled 非门或异或门 若第一 控制 输入为 1 翻 转第二 或目标 输入 若第一输入为 0 不进行任何改变 换言之 它要改变 10 和11 而保留 00 01 不变 异或 XOR 门由 4 4 * 酉矩阵表示 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 与单 qubit 门不同 双qubit 门在实验室中很难实现 因为它要求两个分离的量子信息 载运者进行强烈和受控的交互作用 interaction XOR 门 和一些单-bit 门一起 就可形 1 一个复矩阵的行向量为正交单位向量 则称为酉矩阵 unitary matrix 并代表一酉变换 酉矩阵 U 的逆为其伴随矩阵 adjoint 或共轭转置 U+ 5 成量子计算的一组通用基元 任何量子计算可仅通过这些门的集合完成 无需被使用的 门的 种类的 数量 酉相互作用 异或门是两量子系统间交互作用的原形 也体现了量子信息几个关键特征 尤其是未 知量子态的不可克隆性和交互作用产生纠缠的方式 异或规则 1 0 , , 0 , 或 其中 = = x x x x U XOR 有人可能认为异或运算也能复制重叠 如10,,0,βαψψψψ+==其中 XOR U 其实不然 量子进化的单式性 unitarity 酉性 输入状态的重叠 superposition 进 化为相应的输出重叠 即1,10,00,βαψ+=XOR U 得到一纠缠态 每一个输出 qubit 本身并不确定 若一个纠缠输出 qubit 丢失 如丢 弃了 或被允许逃逸到环境中 另一个则表现为好象获得了随机的经典值 0 以概率 2 α 或1以概率 2 β 除非丢失的输出被找到 原始重叠 ψ 的记录将丢失 这种行为不 仅是异或门的特性 而且是酉相互作用 unitary interaction 的特性 其典型效果是映射 相互作用的系统中大多数未纠缠初始态为纠缠的终态 从每个单个的系统来看产生了不可 预测的干扰 经典计算的量子表示 量子物理是经典物理的基础 因而也可以用量子形式表现经典数据和运算 若一经 典比特为一值为 0 或1的qubit 经典导线就能可靠传导 0 和1但不能可靠传导重 叠 这可用上述异或门实现 在目标位置放一初始 0 随后将其丢弃 图1c 换言之 从量子信息的观点看 经典通信是一个不可逆过程 其中信号与环境或窃听者 eavesdropper 相互作用 布尔信号被无干扰地传输 但其他状态与环境纠缠起来 如 果环境丢失或丢弃了 残留信号表现为不可逆地变为某一个布尔态 定义了经典导线后 我们可以定义经典门为以经典导线作为输入输出的量子门 图1c 中的经典导线是在开放 系统中量子信息处理的例子 任何可应用于量子数据的处理过程 特别的 包括酉过程 可以描述为量子数据与一些辅助 qubit 的酉相互作用 图1d 这些辅助 qubit 初始为 0 随后其中一些又被丢弃 这样的通用量子数据处理运算 所谓的保迹完全正映射 tracepreserving completely positive map 或超运算符 可获得比输入空间更大或更小的 6 Hilbert 空间 对酉运算 输入和输出 Hilbert 空间理所应当是等维的 脱散 有趣的是 与环境的纠缠相互作用被认为是宏观世界表现为经典的 而非量子力学 的主要原因 宏观不同态 例如在 VLSI 存储单元中代表 0 和1的不同电荷状态 与环境 发生强烈的相互作用 关于该单元所处状态的信息很快地泄露出去 所以 即使能将该 单元预备在重叠 0 和1重叠也将很快进化为涉及环境的复杂纠缠态 complex entangled state 从存储单元的角度看 这种复杂纠缠态表现为两个经典值的统计混合 而不是重 叠 这种从重叠到混合的自发衰减称为脱散 decoherence 纯态和混合态 到目前为止 我们所讨论的量子状态 可视为 Hilbert 空间中的射线 称为纯态 pure state 它们代表最小未知态 即 在原则上 对于系统不可能知道得更多 以纯态为基 础 无须引入其他概念 封闭系统的量子力学即可完备描述为 在合适维数的 Hilbert 空 间中纯态的酉进化 不过 特别的 一个很有用的概念 混合态 mixed state 可用于描 述有更多未知的情形 l 总体 ensemble 所论系统可能以概率 L 2 1, p p 处于纯态 L 2 1 , ψ ψ l 所论系统 称为 A 是更大的系统的一部分 称为 AB AB 处于纠缠纯态Ψ 在开放系统中 纯态可能自然地进化为混合态 也可描述为原始系统及其环境所组 成的较大系统的纯态 数学上 混合态表现为具有单位迹 unit trace 的半正定 positivesemidefinite 自伴随 self-adjoint 密度矩阵 在第一种情况下定义为 ∑ = i i i i p ψ ψ ρ 在第二种情况下定义为 Ψ Ψ = B Tr ρ 此处 TrB 表示 B 子系统索引 indices 的部分迹 partial trace 纯态ψ以密度矩阵 形式表示为 1 阶投影矩阵 ψ ψ 明显的 对第一种情况 无限多不同的总体能产生相同的密度矩阵 例如 密度矩 阵????????2/1002/1可视为纯态 0 和1的混合 或等价的 2 / ) 1 0 ( + 和2/)10(?的混合 或其他任意正交单-qubit 纯态的混合 类似的 在第二种情况下 AB 系统的无穷多纯态Ψ 可以产生 A 子系统相同的密度矩阵 有人可能会疑惑在什么意义上密度矩阵是纯态的 7 统计总体 或处于纯纠缠态的大系统的一部分的充分描述 答案是 密度矩阵 获取且 仅获取所有的可由观测者获得的信息 使能检查从总体 中采样的无穷多状态 或给出 无穷多机会以检查预处于纠缠纯态Ψ 的AB 系统中的部分 A 这来自以下基本事实 对 任意测试矢量 φ 若取自总体 } , { i i p ψ ε = 的样本被测试是否处于状态 φ 肯定性 positive 输出的概率是 ( ) φ φ ρ φ ψ ∑ = i i Tr p 2 类似的 对A子系统的任意测试状态φ AB 系统的纠缠态中以 作为其部分迹的 肯 定性输出的 概率也是 ( ) φ φ ρ Tr Bob和Alice 也许比相容 compatible 于 的不同总体的不可区别性更明显的是 他们 不同总 体 可从 AB 系统中以 作为其部分迹的任意一个纠缠态Ψ 产生 更特别的是 若两部 分 称为 Alice 和Bob 分别属于处于状态 Ψ 的系统的部分 A 和B对每一相容总体 } , { i i p ψ ε = Bob 可能希望 create in Alice's hands 现有可单独施用于 B 子系统的测度 measurement M 无需 Alice 的同意或合作 即可在测度以概率 i p 输出i 意义上实现 了总体 在输出发生的条件下 Bob 将知道 Alice 拥有纯态 i ψ Bob 以这种单边的 post facto 的方式决定 Alice 所处总体的能力 对下面将要讨论到的量子密码学具有重要意义 熵 由于混合态代表了不完全信息 很自然的 利用冯 诺依曼 von Neumann 公式可 将混合态与熵联系 1927 年J冯诺依曼用密度算符给出了熵的量子力学表述 参信息系统论 第二章 译者注 ρ ρ ρ log ) ( Tr S ? = 4 若纯态 i Ψ 组成的总体是正交的 它们之间互可区分 就可作为经典状态对待 对这 种情况 冯 诺依曼熵就等价于概率的香农熵 Shannon entropy ∑ ? = i i i p p H log 易见 对任意双边 bipartite 纯态 Ψ 其各部分的密度矩阵 A ρ 和Bρ等秩和等非 零特征值谱 此外 通过这些特征值和特征向量 初始状态具有特别简单的表达 8 ∑ ? = Ψ k k k k b a λ 5 其中 k a 和kb分别是 A ρ 和Bρ对应于正特征值 k λ 的特征向量 这种表达称为 Schmidt 分解 在三边 tripartite 或更高系统中 并不存在这种分解的简单对应 量子信息处理理论的发展 近来量子信息处理理论的快速发展可分为两个相关的部分 量子计算和量子信息论 尽管主要的实践问题在于量子计算机的物理实现 量子计算中许多很重要的理论问题已 经有了答案 与已知的经典算法相比 对于整数因式分解和其他一些问题 量子算法提 供了指数级加速 对广域搜索和优化问题提供了平方级加速 对诸如递归函数求值这样的 问题无有意义的加速作用 量子纠错码 quantum error-correcting code 和容错门阵列 fault-tolerant gate array 的发现意味着 在原则上 与在经典计算中一样 有限可靠组 件已足够完成任意可靠的量子计算 但这还有一些数量的差别 今天的经典设备 如CMOS 晶体管 是如此内在可靠 以至于很少需要容错电路 相反的 今天原始的量子 硬件太不可靠 不能被已知的容错电路设计纠正 幸运的是 随着将来硬件和软件的进 步 并没有什么基础的原因使这一问题不能被解决 在此 我们主要关心第二个领域 量子信息论 经典的概念如信源 信道 编码和 信道容量被扩展以包括多种信道 有噪的和无噪的 的最佳使用 不仅用于经典信息的 通信 也用于完整量子态的通信 和 在分离的观察者间分享纠缠 虽然量子信息论所基 于的基础物理和数学具有 50 年的历史 这一新理论主要在过去 5 年中形成 量子数据压 缩[3][45] 超密度编码[16] 量子转运[10] 纠缠集中 entanglement concentration [8][53] 例证了一种有价值的方式 即量子信道单独或与经典信号结合使用 以传输量子或经典 信息 最近 量子纠错码[14] [19]-[23],[25],[28],[33],[46],[58],[66],[68],[69]和纠缠蒸馏协 议Entanglement distillation protocol [12][14][24][40][41]被发现 它们允许在这些应用 中用有噪量子信道 只要噪声不过于强大 代替无噪信号 目前还有一些重要问题 如 发现有噪量子信道经典和量子容量的精确表达式 而不仅是上下界 经典和量子信息处 理中一些主要的相似点和不同点总结于表 1 表1经典-量子比较 属性 经典的 量子的 状态表达 比特 { }n x 1 , 0 ∈ 串 量子比特 ∑ = x x x c ψ 串 计算基元 确定或随机的单比特或双比特 运算 单-qubit 和双 qubit 酉变换 不可靠门的可靠计算 可以 使用经典容错门阵列 可以 使用量子容错门阵列 量子计算加速 因式分解 指数加速 搜索 平方加速 黑箱递归 无加速 9 通信基元 传输经典比特 传输经典比特 传输 qubit 分享 EPR 对 信源熵 ∑ ? = ) ( log ) ( x p x p H ρ ρ ρ log ) ( Tr S ? = 纠错技术 纠错码 量子纠错码 纠缠蒸馏 纠缠辅助通信 超密度编码 量子转运 通信复杂性 分布式计算的比特通信代价 Qubit 代价 或纠缠辅助的比 特代价 可以较小 密钥协议 Agreement on a secret cryptographic key 对无限计算能力不安全 若P=NP 被量子计算机攻击和对无限 计算均安全 双边比特通信 对无限计算能力不安全 若P=NP 被量子计算机攻击则不安全 数字签名 对无限计算能力不安全 若P=NP 未知量子实现 如前所述 纠缠在此扩大的信息论中扮演了中心角色 在数方面补充了经典信息中 的角色 量子信息论一个重要任务是对双边和多边 multipartite 系统 纯态和混合态 给出纠缠的数量度量 更一般的 该理论应表现出多边状态可以仅用局部运算和经典通 信相互变换的效率特色 无须各方间的量子信息交换 一个补充问题是 在分离的各方间能减少 通信复杂性 的优先纠缠 prior entanglement 的程度 即经典通信所需的多输入 每方持有一个 函数求值 的数量 [A complementary question is the extent to which prior entanglement among separated parties can reduce "communication complexity, "i.e., the amount of classical communication needed to evaluate function of several inputs, one held by each party.] 10 量子信息论中有关译名对照表 中文 英文 量子信息论 Quantum Information Theory 纠缠 Entanglement 量子密码学 Quantum cryptography 不确定性 Uncertainty 量子比特 Qubit
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