东北育才学校高三一轮复习学案
第五辑 平面向量
5.1 向量的概念,向量的加法与减法,实数与向量的积
高考要求:
1.理解向量的有关概念,掌握向量的加法与减法,实数与向量的积,向量的量积及其运算
法则,理解向量共线的充要条件.
2.会用向量的代数运算法则,三角形法则,平行四边形法则解决有关问题.不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.
考点回顾:
1)向量的有关概念
①向量:既有大小又有方向的量.向量一般用……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:.向量的大小即向量的模(长度),记作||.
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行.
③单位向量:模为1个单位长度的向量.
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.任意一组平行向量都可以移到同一直线上.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合,记为.
2)向量加法
①求两个向量和的运算叫做向量的加法.设,则+==.向量加法有"三角形法则"与"平行四边形法则".
说明:(1);
(2)向量加法满足交换律与结合律;
3)向量的减法
① 相反向量:与长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量.记作,零向量的相反向量仍是零向量.
关于相反向量有:
(i)=;
(ii)+()=()+=;
(iii)若,是互为相反向量,则=,=,+=.
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,记作:.求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
的作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(,有共同起点).注:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量.
(2) 三角形法则的特点是"首尾相接",由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
4)实数与向量的积
①实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ);
(Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的.
②数乘向量满足交换律,结合律与分配律.
5)两个向量共线定理
向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=.
6)平面向量的基本定理
如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
7)特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算.
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件.
(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况.

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