2006年1月线性代数与几何试题
一,填空题(每小题3分,共12分)
(1). 若向量组线性相关,则常数= .
(2). 若矩阵的伴随矩阵,则= .
(3). 已知为3维向量, ,则= .
(4). 已知是齐次线性方程组的基础解系,则向量组也可作为的基础解系的充要条件是常数满足条件 .
二,单项选择题(每小题3分,共12分)
(1). 设矩阵,则
(A) 为正交矩阵 (B) 为正交矩阵.(C) 为正交矩阵. (D) . 【 】
(2). 已知矩阵相似于对角矩阵,则等于
(A) 0. (B) 2. (C) -2. (D) 6. 【 】
(3). 设矩阵的伴随矩阵的秩为1,则
(A) . (B) 且. (C) . (D) 且.【 】
(4).的子空间的维数是
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【 】
三,(12分) 设3阶方阵,满足,
(1) 证明矩阵可逆; (2) 当时,求.
四,(13分) ,取何值时,线性方程组
有唯一解,无解,有无穷多解 并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.
五,(12分) 求两相交直线与所确定的平面的一般式方程.
六,(12分) 设3阶矩阵的特征值为,求方阵的特征值及.
七, (13分) 设矩阵,
(1) 写出二次型的矩阵;
(2) 求一个正交矩阵,使成对角矩阵;
(3) 写出在正交变换下化成的标准形.
八,(8分) (注意:学习过第8章"线性变换"者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
(1) 设的子空间由向量组 生成,求的基与维数.
(2) 设为3维线性空间的基, 上的线性算子在该基下的矩阵为,求的值域的基与维数,的核的基.
九,(6分) 设,均为阶正定矩阵.证明:关于的方程的根全大于零.
线性代数与解析几何(A卷)参考答案与评分标准 (2006.1.8)
一. (1) -3 ; (2) 32 ; (3) 6; (4) .
二.
(1)
(2)
(3)
(4)
B
A
D
B
三. (1) ,故可逆. (4分)
(2) 解法1: 由(1)有 , (7分)
而 (11分), 得
解法2: ,. (7分), 以下同解法1.
四. (4分)
(1) 当时, 有唯一解; (6分) (2) 当且时,无解; (8分)
(3) 当且时, 有无穷多解,此时,由
,得所求通解. (13分)
五. 的方向向量为,上有点 (2分) 的方向向量为, 上有点 (5分) 由,知与共面 (8分) (10分)
所求平面方程为,或. (12分)
六. , , (3分) ,
,
得的特征值为-5,-4,11, 对应特征向量分别为 (8分) 由特征值的性质知
的特征值为,对应特征向量分别为 (11分)
(12分)
(1) (3分)
(2) 的特征值为, (6分) 对应于的标准正交特征向量可取为
, (9分)
对应于的单位特征向量可取为,令,则为正交矩阵,使. (12分)
(3) . (3分)
八. (1) 知道的基与维数分别等于向量组的极大无关组与秩. (3分)
由,知基可取, (4分) (6分)
因,知基础解系含1个向量,再由知的基础解系可取为
(8分).
(2) 知道与的列空间同构, (2分) 由知的基可取为
,. (6分)
知道与的解空间同构,由知的基础解系为, 的基可取为. (8分)
九. 因正定,有可逆矩阵,使, (1分) 因正定,故也正定, (2分)

(5分)
方程的要即正定矩阵的特征值,故全大于零. (6分)